方阵，作为线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。方阵的特征值在解决实际问题中具有重要意义。本文旨在对方阵特征值进行深入探讨，分析其性质、计算方法及应用。
一、方阵特征值的定义与性质
1. 定义
方阵特征值的定义如下：设A为n阶方阵，λ为实数，如果存在非零向量x，使得Ax=λx，则称λ为A的特征值，x为对应的特征向量。
2. 性质
（1）方阵的特征值是实数或复数，复数特征值的实部称为特征值的实部，虚部称为特征值的虚部。
（2）方阵A的特征值之和等于A的迹，即λ1+λ2+...+λn=tr(A)。
（3）方阵A的特征值之积等于A的行列式，即λ1λ2...λn=det(A)。
（4）方阵A的特征值具有对称性，即如果λ是A的特征值，则-λ也是A的特征值。
（5）方阵A的特征值不唯一，但对应的特征向量可能不唯一。
二、方阵特征值的计算方法
1. 初等行变换法
（1）计算A的特征多项式f(λ)=det(A-λE)，其中E为n阶单位矩阵。
（2）求出f(λ)的根，即得到A的特征值。
2. 实对称矩阵的特征值计算
（1）利用实对称矩阵的性质，将A对角化，即存在可逆矩阵P，使得P^TAP=diag(λ1, λ2, ..., λn)。
（2）对角矩阵diag(λ1, λ2, ..., λn)的特征值即为A的特征值。
3. 特征值分解法
（1）计算A的特征值λ1, λ2, ..., λn。
（2）求出对应的特征向量x1, x2, ..., xn。
（3）构造矩阵P=[x1, x2, ..., xn]，则P^-1AP=diag(λ1, λ2, ..., λn)，即A可对角化。
三、方阵特征值的应用
1. 解线性方程组
设Ax=b，若A可对角化，则可利用A的特征值和特征向量将原方程组转化为n个简单的线性方程组，从而求解。
2. 矩阵相似对角化
方阵A可对角化的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=diag(λ1, λ2, ..., λn)。这一性质在矩阵相似对角化、求解矩阵幂等问题中具有重要意义。
3. 线性变换的稳定性分析
在工程、物理等领域，线性变换的稳定性分析至关重要。利用方阵特征值的性质，可以判断线性变换的稳定性。
4. 矩阵的谱半径与谱分解
方阵A的谱半径ρ(A)定义为A的特征值的最大模。谱分解是利用A的特征值和特征向量将A分解为对角矩阵和正交矩阵的乘积。
方阵特征值在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。通过对方阵特征值的定义、性质、计算方法及应用的探讨，有助于我们更好地理解和运用这一重要概念。随着数学理论的发展，方阵特征值的研究将不断深入，为解决实际问题提供有力支持。
参考文献：
[1] 李尚志，线性代数[M]. 北京：高等教育出版社，2007.
[2] 陈文光，矩阵理论[M]. 北京：科学出版社，2004.
[3] 钱人豪，线性代数及其应用[M]. 北京：高等教育出版社，2006.
